Notation og regnemetoder

11.6.2 Elektriske signaler

11.6.2.1 Notation og regnemetoder

For AC-spændinger anvendes ofte små bogstaver: n(t ) eller e(t ). For AC-strømme anvendes i(t) og for effekter p(t). For DC-signaler anvendes store bogstaver: V, I og P.

I det følgende anvendes betegnelsen AC for generelle periodiske signaler med perioden T i sekunder, og omtalen omhandler spændingssignaler n(t ). De samme udtryk gælder i de fleste tilfælde også for strømsignaler. Kun i de tilfælde, hvor andre udtryk gælder, nævnes det eksplicit. For et generelt periodisk signal gælder:

$v\left(t\right)=v\left(t\pm NT\right)\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.1]

Hvor:

N er et vilkårligt heltal [–]

T er periodetiden [s]

Den reciprokke værdi af T er signalets frekvens:

$f=\frac{1}{T}\left[\mathrm{Hz}\right]$[11.6.2]

Hvor:

f er frekvensen [Hz]

T er periodetiden [s]

Et AC-signals spidsværdi er maksimalværdien af signalet (eng. peak value, forkortet p), også kaldet amplituden. Spids-spidsværdien er differencen mellem maximal- og minimalværdien, regnet med fortegn (eng. peak-peak value, forkortet pp). Et signals middelværdi er givet ved:

$V_{\mathrm{mid}}=\frac{1}{T}{\int }_O^{T}v\left(t\right)dt\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.3]

Hvor:

T er periodetiden [s]

Middelværdien kan betragtes som en DC-værdi, der er overlejret et rent AC-signal. Ved et rent AC- signal forstås et signal med middelværdien 0.

Et signals numeriske middelværdi (eller ensrettede middelværdi) er givet ved:

$\left|V\right|=\frac{1}{T}{\int }_O^T\left|v\left(t\right)\right|dt\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.4]

Hvor:

T er periodetiden [s]

Et signals effektivværdi er givet ved:

$V_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_O^{T}v\left(t\right)dt}\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.5]

Hvor:

T er periodetiden [s]

Et signals effektivværdi er lig med størrelsen af det DC-signal, der vil afsætte samme effekt i en resistans, som signalet ville gøre. Kaldes på engelsk RMS (Root Mean Square, hvilket står for kvadratroden af middelværdien af kvadratet på signalet).

På figur 11.6.2 er de omtalte signalværdier angivet for forskellige symmetriske signaler.

Figur 11.6.2 Middelværdi, ensrettet middelværdi og effektivværdi for symmetrisk sinus-, trekant-, savtak- og firkantsignal. Størrelsen, der er angivet i tabellen på næste side, er den faktor, signalets spidsværdi skal multipliceres med for at få den angivne signalværdi.

Signal	Middelværdi	Ensrettet middelværdi	Effektiv-værdi
Sinus Trekant Savtak Firkant	0 0 0 0	2 $\frac{2}{\mathrm{\pi }}$ 0,5 0,5 1	$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 1

Sinusoidale signaler

Et generelt sinusoidalt (eller harmonisk) signal opskrives (angivet her som et spændingssignal, men det kunne også være et strømsignal):

$v\left(t\right)=V_s\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.6]

Hvor:

V_s er signalets spidsværdi [V]

ω er signalets vinkelfrekvens [rad/s]

Φj er signalets faseforskydning [rad]

Vinkelfrekvensen er relateret til frekvensen og periodetiden ved:

$\omega =2\pi \mathit{}f\left[\mathrm{rad}/\mathrm{s}\right]$[11.6.7]$T=\frac{1}{f}\left[\mathrm{s}\right]$[11.6.8]

Størrelsen (ωt + ϕ) kaldes signalets øjebliksfase. Det er sædvanligt at omtale ϕ blot som signalets fase. Det er underforstået, hvilken fasereference, der anvendes (dvs. hvilket tidspunkt, der svarer til øjebliksfasen 0 rad/s).

Kompleks symbolsk notation

Den komplekse symbolske metode er udviklet i begyndelsen af 1890’erne af Bedell, Crehore og Steinmetz, og metoden tager udgangspunkt i, at ved beregninger med sinusoidale signaler, anvendes samme regnemetoder, som når der regnes med vektorer i planen. Ligeledes transformeres operationerne differentiation og integration over i almindelige algebraiske udtryk. Regnemetoden kaldes også jω-metoden. For signaler angivet i kompleks symbolsk notation (KSN) anvendes store bogstaver som symboler.

Signalet i (11.6) noteres i KSN som et komplekst tal:

$$\begin{gathered} V\underset{\left[V\right]}{=}{V}_S\angle \phi \\ =V_S·e^{j\phi } \end{gathered}$$[11.6.9]

Hvor:

V er det komplekse billede [V] eller [A]

V_s er spidsværdien [V] eller [A]

I sådanne udtryk, hvor komplekse tal anvendes som billeder for sinusoidale signaler, er det underforstået, hvad frekvensen og fasereferencen er, idét dette kan aflæses i udtrykkene. I (11.9) er der en underforstået faktor e^jωt.

Under anvendelse af denne notation kan signaler behandles med de fire regningsarter (addittion, subtraktion, multiplikation, division).

Endvidere kan signaler, i kompleks symbolsk notation, på en særlig måde integreres og differentieres mht. tiden.

Ved integration skal signalernes symbolske billeder divideres med jω, og ved differentiation skal de multipliceres med jω. To signaler divideres med hinanden, når impedansen skal beregnes, og de multipliceres, når effekten skal beregnes. De skal dog multipliceres på en særlig måde, se afsnit 11.6.2.

Transformationsregler

Algoritmen for transformation fra kompleks symbolsk notation til virkeligt tidssignal er:

1. KSN → tidssignal.
2. Tilføj den underforståede faktor e^jωt
3. Tag realdelen af resultatet.

Algoritmen for transformation fra virkeligt tidssignal til kompleks symbolsk notation:

1. Tidssignal → KSN
2. Tilføj den manglende imaginærdel $\left(\mathrm{j}·\sin \left(\mathrm{\omega }t+\mathrm{\varphi }\right)\right)$
3. Omskriv til kompleks eksponentiel form vha. Eulers ligning.
4. Divider med e^jωt.

Eksempel

Signalet:

$v\left(t\right)=50\cos \left(2\mathrm{\pi }1000t+40°\right)\mathrm{V}$

ønskes omskrevet til KSN. Signalet har en spidsværdi på 10 V, en frekvens på 1000 Hz og en faseforskydning på 40° i forhold til et uangivet andet signal med samme frekvens. Algoritmen ovenfor giver:

1. Tidssignal → KSN
2. Tilføj den manglende imaginærdel:
   $50·\left(\cos \left(2\mathrm{\pi }1000t+40°\right)+\mathrm{j}·\sin \left(2\mathrm{\pi }1000t+40°\right)\right)$
3. Omskriv til kompleks eksponentiel form:
   $50·{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left(2\mathrm{\pi }1000\mathrm{t}+40°\right)}$
4. Divider med e^jωt:
   $\mathrm{Resultat}:\hspace{0.17em}V=50·{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}40°}\to 50\angle 40°$

Eksempel

Der haves to signaler v₁ og v₂, givet ved:

$$\begin{gathered} v_1\left(t\right)=10\cos \left(2\mathrm{\pi }1000t\right)\mathrm{V} \\ {v}_2\left(t\right)=30\cos \left(2\mathrm{\pi }1000+30°\right)\mathrm{V} \end{gathered}$$

Sumsignalet v₁ + v₂ kan beregnes via kompleks symbolsk notation, da signalerne har samme frekvens (1 kHz). Der fås:

$$\begin{gathered} {\mathrm{v}}_{\mathrm{res}}=10{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}0}+30{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}30°} \\ =39{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}226°} \end{gathered}$$$v_1+v_2=39\cos \left(2\mathrm{\pi }1000t+226°\right)\mathrm{V}$

Signalet v₁ kan differentieres via multiplikation med jω:

$$\begin{gathered} \mathrm{j\omega }v=\mathrm{j}2\mathrm{\pi }1000·10 \\ =62831,9{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\mathrm{\pi }}{2}} \\ \frac{d{v}_1}{dt}=62831,9\cos \left(2\mathrm{\pi }1000t+90°\right) \end{gathered}$$

Viserdiagrammer

Signaler i kompleks symbolsk notation afbildes ofte i viserdiagrammer, som vist på 11.6.3. Signalerne repræsenteres af vektorer, der, i denne form, kaldes tidsvektorer, fasorer eller visere.

Figur 11.6.3 Viserdiagram for signalet $V_{\mathrm{s}}\cos \left(\mathrm{\omega }t+\mathrm{\phi }\right)$

Andre notationer

AC-analysen kan også udføres med den komplekse frekvens s, hvor $s=\mathrm{\sigma }+\mathrm{j\omega }\left[\mathrm{rad}/\mathrm{s}\right]$. I alle udtryk i dette kapitel, hvor der er anvendt jω som parameter, kan jω umiddelbart erstattes med s.

Den komplekse frekvens anvendes til transientanalyse, hvor de behandlede signaler ikke behøver at være periodiske.