Spoler

11.6.4.2 Spoler

En enport, der opbygger et magnetfelt, som vil søge at vedligeholde den strøm, der sendes igennem enporten, siges at besidde en egenskab, der kaldes selvinduktion. Komponenten, der udgør enporten, kaldes en spole. Selvinduktion eller induktans måles i henry, som er det samme som volt gange sekunder pr. ampère. For spoler gælder:

$V_L=\frac{d{I}_L}{dt}\frac{d\Lambda }{d{I}_L}\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.58]$V_L=L\frac{d}{dt}{I}_L\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.59]$L\stackrel{∆}{=}\frac{d\Lambda }{d{I}_L}\left[\mathrm{H}\right]$[11.6.60]$I_L=\frac{1}{L}\int V_{L}dt\left[\mathrm{A}\right]$[11.6.61]

Hvor:

V_L er spændingen over spolen [V]

I_L er strømmen gennem spolen [A]

L er induktansen [H]

Λ er den omsluttede flux [Wb]

t er tiden [s]

Den omsluttede flux er antallet af magnetkraftliner, der løber gennem spolen, multipliceret med antallet af vindinger. Enheden for magnetkraftlinjeantallet er weber. Enheden for den omsluttede flux benævnes ofte webervindinger. En weber er det samme som volt gange sekunder.

En ideel ét-lags spole har selvinduktionen:

$L={\mu }_0{N}^2\frac{A}{\mathcal{l}}\left[\mathrm{H}\right]$[11.6.62]

Hvor:

A er tværsnitsarealet [m₂]

l er spolens længde [m]

N er vindingsantallet [–]

μ₀ er vakuumpermeabiliteten, 4π · 10-⁷ H/m

Gensidig induktion

To strømkredse, der er arrangeret således, at en del af de magnefeltlinjer, der dannes af strømmen i kreds 1, løber gennem kreds 2, hvor de inducerer en spænding, siges at besidde gensidig induktion, målt i henry [H] . Se figur 11.6.9.

For gensidig induktion fra kreds 1 til kreds 2 anvendes symbolet L₂₁, og for gensidig induktion fra 2 til 1 anvendes L₁₂. Der gælder, idet M anvendes som fælles symbol:

$L_{21}=L_{12}=M\left[\mathrm{H}\right]$[11.6.63]

Hvor:

M er den gensidige induktion [H]

Figur 11.6.9 Gensidig induktion

Den inducerede spænding i kredsene beregnes som:

$V_1=\frac{d}{dt}{I}_1·L_{11}\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.64]$V_2=\frac{d{I}_I}{dt}·L_{21}\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.65]

Hvor:

V₁ er spændingen i kreds 1 [V]

V₂ er spændingen i kreds 2 [V]

I₁ er strømmen i kreds 1 [A]

L₁₁ er selvinduktionen i kreds 1 [H]

L₂₁ er den gensidige induktion [H]

Egenskaben udtrykt i (11.63) kaldes reciprocitetsprincippet for gensidig induktion.

Koblingsfaktor

Indenfor kredsløbsteorien anvendes koblingsfaktoren k, defineret ved:

$K=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}\left[–\right]$[11.6.66]

Hvor:

k er koblingsfaktoren [–]

M er den gensidige induktion [H]

L₁ er selvinduktionen i spole 1 [H]

L₂ er selvinduktionen i spole 2 [H]

Se figur 11.6.9.

Kredsløbsberegning med gensidig induktion

Når den stationære AC-løsning skal findes for et kredsløb med koblende spoler under anvendelse af KSN, kan følgende substitutioner i kredsløbet udføres.

Der indsættes en strømstyret spændingsgenerator i serie med hver af de to spoler. Værdien af generatoren skal være:

$V=j\omega M·I\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.67]

Hvor:

V er den inducerede spænding [V]

M er den gensidige induktion [H]

I er strømmen i den anden spole [A]

Polariteten af generatoren bestemmes ud fra polaritetsindikatorerne, som findes ved de to spoler. Princippet er vist på figur 11.6.10.

Figur 11.6.10 Bestemmelse af erstatningsdiagrammet for to koblende spoler med gensidig induktion og polaritetsindikatorer. (Hvis strømmen løber ind ved en prik, bliver der plus ved prikken på den anden side).

RL-kredsløb

Ved opladning af en spole L gennem en modstand R, som vist på figur 11.6.11, er strømmen og spændingen givet ved:

$I_L=\frac{E}{R}\left(1–e^{–\frac{t}{\tau }}\right)\left[\mathrm{A}\right]$[11.6.68]$V_L=E{e}^{–}\frac{t}{\tau }\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.69]

Hvor:

I_L er spolestrømmen [A]

E er opladespændingen [V]

V_L er spændingen over spolen [V]

R er resistansen [Ω]

t er tiden [s]

T er tidskonstanten [s]

Tidskonstanten er for RL-led defineret ved:

$\tau \stackrel{△}{=}G·L=\frac{L}{R}\left[\mathrm{S}\right]$[11.6.70]

Hvor:

T er tidskonstanten [s]

G er konduktansen [S]

R er resistansen [Ω]

L er induktansen [H]

Figur 11.6.11 Et RL-led.

Omladningskurven for spoler har samme udseende som for kondensatorer, se figur 11.6.9. Efter 5T sekunder antages strømmen at have nået slutværdien $\frac{E}{R}$.

Ved afladning gælder der for spænding over og strøm igennem spolen:

$I_L=I·e^{–\frac{t}{\tau }}\left[\mathrm{A}\right]$[11.6.71]$V_L=–I·R·e^{–\frac{t}{\tau }}\left[\mathrm{V}\right]$[11.6.72]

Hvor:

I_L er spolestrømmen [A]

I er startværdien af spolestrømmen [A]

V_L er spændingen over spolen [V]

R er resistansen [Ω]

t er tiden [s]

T er tidskonstanten [s]

Energien i en spole

Øjebliksværdien af den oplagrede energi i en spole er givet ved:

$U_L=\frac{1}{2}·L·I_L^2\left[\mathrm{J}\right]$[11.6.73]

Hvor:

U_L er energien [J]

L er induktansen [H]

I_L er strømmen [A]

Spolers impedans

Når der er tale om sinusoidale signaler, kan den komplekse symbolske metode (KSN: Kompleks Symbolsk Notation) anvendes til beregningerne, og så er spolens impedans defineret.

En spoles impedans er i KSN givet ved:

$Z_L=0+j{X}_L\left[\mathrm{\Omega }\right]$[11.6.74]$X_L=\omega L\left[\mathrm{\Omega }\right]$[11.6.75]

Hvor:

ω er vinkelfrekvensen [rad s]

L er induktansen [H]

X_L er den induktive reaktans [Ω]

Vinkelfrekvensen er givet ved:

$\omega =2\mathrm{\pi }f\left[\mathrm{rad}/\mathrm{s}\right]$[11.6.76]

Hvor:

f er frekvensen [Hz]

Den reciprokke værdi af den induktive reaktans kaldes den induktive susceptans, givet ved:

$B_L=\frac{1}{X_L}=\frac{1}{\omega L}\left[\mathrm{S}\right]$[11.6.77]

Hvor:

B_L er spolens susceptans [S]

X_L er spolens reaktans [Ω]

ω er vinkelfrekvensen [rad/s]

For spoler koblet i serie gælder nedenstående formel under forudsætning af, at spolernes magnetfelter ikke påvirker hinanden:

$L_{res}=L_1+L_2+\cdots +L_n\left[\mathrm{H}\right]$[11.6.78]

Hvor:

L_res er den resulterende induktans [H]

L_n er delinduktanserne [H]

For spoler koblet i parallel gælder der under samme forudsætning:

$L_{res}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{L_1}}+{\displaystyle \frac{1}{L_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{L_n}}}\left[\mathrm{H}\right]$[11.6.79]

Hvor:

L_res er den resulterende induktans [H]

L_n er delinduktanserne [H]

Koblende spoler

Hvis spolerne påvirker hinanden, vil der være tale om gensidig induktion. To serieforbundne spoler, der kobler, udviser selvinduktionen:

$L_{res}=L_1+L_2\pm 2M\left[\mathrm{H}\right]$[11.6.80]

Hvor:

M er den gensidige induktion [H]

L_res er den resulterende induktans [H]

L₁, L₂ er delinduktanserne [H]

Om der skal anvendes + eller – afhænger af viklingsretningen på de 2 spoler L₁ og L₂ – den kan enten forstærke eller svække den samlede virkning. To parallelforbundne spolers samlede induktans er givet ved:

$L_{res}=\frac{L_1{L}_2–M^2}{L_1+L_2\pm 2M}\left[\mathrm{H}\right]$[11.6.81]

hvor størrelserne er de samme som i (11.80).

Impedansen af en ideel spole har realdelen 0 Ω og en positiv imaginærdel, hvorfor strømmen I_L og spændingen V_L vil være 90°ude af fase, som vist på viserdiagrammet i figur 11.6.12.

Figur 11.6.12 Viserdiagram for en ren induktans.

Tab i spoler

For en virkelig spole vil fasedrejningen, hovedsageligt pga. resistansen i vindingerne, være et tal mellem 0° og 90°. Der anvendes flere forskellige størrelser til at angive en spoles uperfekthed eller godhed. Vinklen δ, som fasedrejningen er mindre end 90°, kaldes tabsvinklen, se figur 11.6.13.

Størrelsen “Q” eller “Q-værdien” er, for den ideelle spole, uendelig. Jo dårligere spolen er, desto mindre er Q-værdien. Benævnelsen Q kommer fra eng. “Quality”. Størrelserne er defineret ved:

$\mathrm{tabsvinkel}=\delta \stackrel{△}{=}90°–\angle Z_L\left[\mathrm{rad}\right]$[11.6.82]$\mathrm{tabstangent}\stackrel{△}{=}\mathrm{tg\delta }\left[–\right]$[11.6.83]$\mathrm{tabsfaktor}\stackrel{△}{=}\mathrm{sin\delta }\left[–\right]$[11.6.84]$Q=\frac{1}{\mathrm{tg}\delta }\left[–\right]$[11.6.85]

Hvor:

Z_L er spolens impedans [Ω]

Q er spolegodheden [–]

Figur 11.6.13 Tabsvinkel for en spole.

Hvis δ er lille, vil tabsfaktor ≈ tabstangent ≈ δ regnet i radianer. Den almindeligst anvendte model for en spole med tab består af en ideel induktans i serie med en resistans.

For en spole i serie med en resistans, se figur 11.6.14a, gælder der:

$Z_L=R+j\omega L=R+j{X}_L\left[\mathrm{\Omega }\right]$[11.6.86]$Q=\frac{X_L}{R}\left[–\right]$[11.6.87]$\delta =\mathrm{arctg}\frac{R}{X_L}\left[\mathrm{rad}\right]$[11.6.88]

Hvor:

Z_L er spolens impedans [Ω]

X_L er reaktansen [Ω]

R er resistansen [Ω]

L er induktansen [H]

Q er godheden [–]

d er tabsvinklen [rad] eller [°]

For en spole i parallel med en resistans, se figur 11.6.14b, gælder der:

$Z_L=\frac{j\omega RL}{R+j\omega L}\left[\mathrm{\Omega }\right]$[11.6.89]$Q=\frac{R}{X_L}\left[–\right]$[11.6.90]$\delta =\mathrm{arctg}\frac{X_L}{R}\left[\mathrm{rad}\right]$[11.6.91]

hvor symbolerne har samme betydning som i (11.86) til (11.88).

Figur 11.14 En spole med tab ækvivaleret som en serieresistans (a) og som en parallelresistans (b).

Det kan være vanskeligt at opnå et højt Q for spoler. Ved høje frekvenser optræder der strømfortrængning i tråden, spolen er viklet af, hvilket forøger resistansen i spolen, hvorved Q’et bliver mindre. Spoler, der anvendes ved lave frekvenser, består ofte af mange vindinger af tråd, hvilket gør at spolens resistans kan være betydelig. Q’et for spoler ligger oftest i området 50-200.